用条件极值法推导 Moran 指数的两组边界

Moran 指数是空间自相关的基本度量，已应用于自然科学与社会科学的诸多领域。一个好的度量应具有清晰的边界值或临界值。然而，对于 Moran 指数，其边界值与临界值均存在争议。本文提出一种新方法推导 Moran 指数的边界值。关键在于基于 Moran 指数定义的二次型寻找条件极值。结果自然推导出 Moran 指数的两组边界值：一组由空间权重矩阵的特征值决定，另一组由空间自相关系数的二次型决定（-1<Moran's I<1）。这两组边界值的交集给出 Moran 指数的四种可能数值范围。可得出结论：Moran 指数的边界由规模向量和空间权重矩阵决定，其基本边界值为 -1 和 1。空间权重矩阵的特征值代表了 n 个地理要素特征向量轴在不同方向上的最大延伸长度。本工作解决了空间自相关分析的基本问题之一。