导出的 p-进高度与 Bertolini–Darmon–Prasanna p-进 L-函数的首项系数

设 $E/\mathbb{Q}$ 为椭圆曲线，$p$ 为 $E$ 的好约化奇素数。设 $K$ 为满足经典 Heegner 假设且 $p$ 在其内分裂的虚二次域。本文目标有二：（1）我们为 Bertolini–Darmon–Prasanna 引入的 $p$-进 $L$-函数 $L_{\mathfrak{p}}^{\rm BDP}$ 表述一个 $p$-进 BSD 猜想。（2）对于 $L_{\mathfrak{p}}^{\rm BDP}$ 的代数类比 $F_{{\mathfrak{p}}}^{\rm BDP}$，我们证明猜想的“首项系数”部分成立，且“零阶”部分可由反 cyclotomic $p$-进高度预期的“极大非退化性”推出。特别地，当已知的 Iwasawa–Greenberg 主猜想 $(F_{{\mathfrak{p}}}^{\rm BDP})=(L_{\mathfrak{p}}^{\rm BDP})$ 成立时，我们的结果确定了 $L_{\mathfrak{p}}^{\rm BDP}$ 在 $T=0$ 处的首项系数，精确到 $p$-进单位。此外，通过借鉴 Burungale–Castella–Kim 的方法，我们在温和假设下证明了超奇异素数 $p$ 的主猜想。在 $p$-普通情形下，并在一些附加假设下，Agboola–Castella 获得了类似结果，但我们的方法是新的且完全独立于他们，并适用于所有好素数。