依赖舍入的强负相关框架及无关机器上最小化完成时间的调度

我们描述了一种针对二部图的新型依赖舍入算法框架。给定图 $G = (U \cup V, E)$ 边上的分数赋值 $\vec x$，算法返回一个整数解 $\vec X$，使得每个右节点 $v \in V$ 至多有一条相邻边 $f$ 满足 $X_f = 1$，且变量 $X_e$ 还满足广泛的非正相关性性质。特别地，对于任意共享左节点 $u \in U$ 的边 $e_1, e_2$，变量 $X_{e_1}, X_{e_2}$ 具有强负相关，即 $X_{e_1} X_{e_2}$ 的期望显著低于 $x_{e_1} x_{e_2}$。该算法基于生成负相关指数随机变量，并将其用于受 Im & Shadloo（2020）算法启发的竞争解决机制中。我们的算法给出了更强且灵活得多的负相关性质。具有负相关性质的依赖舍入方案已被用于无关机器上作业调度以最小化加权完成时间的近似算法（Bansal, Srinivasan, & Svensson（2021）、Im & Shadloo（2020）、Im & Li（2023））。使用我们的新依赖舍入算法及其他改进，我们获得了该问题的 $1.398$-近似。这显著优于 Im & Li（2023）先前的 $1.45$-近似比。