伽罗瓦覆盖特殊化集的密度结果

我们为如下结论提供证据：给定有限伽罗瓦覆盖 $f: X \rightarrow \mathbb{P}^1_\mathbb{Q}$，其群为 $G$，在密度意义下几乎所有 $G$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的实现都不作为 $f$ 的特殊化出现。我们证明，若 $f$ 的分支点数量足够大，在 abc 猜想下，并可能在 Malle 猜想所预测的给定群与有界判别式的 $\mathbb{Q}$ 的伽罗瓦扩张数量的下界下，该结论成立。这广泛推广了 Granville 在 abc 猜想下关于具有大亏格的 $\mathbb{Q}$ 上超椭圆曲线的二次扭曲缺乏 $\mathbb{Q}$-有理点的结果（我们结果在 $G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 情形下的丢番图重述）。作为进一步证据，我们给出若干有限群 $G$，对上述结论在几乎所有 $\mathbb{P}^1_\mathbb{Q}$ 的群为 $G$ 的覆盖上无条件成立。我们还引入了伽罗瓦覆盖 $f: X \rightarrow \mathbb{P}^1_\mathbb{Q}$ 特殊化的局部-全局原理，并证明在 abc 猜想下，若 $f$ 具有阿贝尔伽罗瓦群且分支点足够多，该原理常常失效。一方面，这样的局部-全局结论凸显了 $\mathbb{P}^1_\mathbb{Q}$ 的伽罗瓦覆盖的特殊化集的“小性”。另一方面，它允许在条件下生成“许多”不满足 Hasse 原理的 $\mathbb{Q}$ 上的曲线，从而推广了 Clark 和 Watson 近期致力于超椭圆情形的结果。