黎曼 zeta 函数零点之间 r-间隙的密度结果

设 $0<\gamma_1\leq \gamma_2\leq \ldots$ 为黎曼 zeta 函数非平凡零点的正序数。塞尔伯格首次提出的某个结果表明，存在绝对常数 $\Theta, \vartheta>0$，使得对每个 $r\in \mathbb{N}$，都有 $$\limsup_{n\to \infty}\frac{\gamma_{n+r}-\gamma_n}{2\pi r/\log \gamma_n}\geq 1+\frac{\Theta}{r^\alpha} \qquad \text{和}\qquad \liminf_{n\to \infty}\frac{\gamma_{n+r}-\gamma_n}{2\pi r/\log \gamma_n}\leq 1-\frac{\vartheta}{r^\alpha}$$其中 $\alpha$ 可取为 $2/3$，或在假设黎曼假设时取为 $1/2$。这一结果最近被 Conrey 和 Turnage-Butterbaugh 在 RH 下证明，由 Inoue 无条件证明。我们实际上证明了事实上有一正比例的 $r$-间隙是大(和小)至上述程度，并且我们提供了这些间隙大小与比例的显式估计。在 $r=1$ 的情况下，这在定量上改进了 Simoni\v{c}, Trudgian 和 Turnage-Butterbaugh 的无条件结果。