实直线上振荡序列的稠密性

本文研究形如 $$(g(k)\cdot F(k\alpha))_{k \in \mathbb{N}} ,$$ 的振荡序列在实直线上的稠密性，其中 $g$ 为正增函数，$F$ 为实连续 1-周期函数。这推广了 Berend、Boshernitzan 与 Kolesnik 的工作，他们建立了函数 $F$ 的微分性质以保证该振荡序列模 $1$ 稠密。更确切地说，当 $F$ 在 $[0,1)$ 中具有有限多个根时，我们给出了所考虑振荡序列在 $\mathbb{R}$ 中稠密的必要条件与充分条件。所有结果均借助连分数理论，以 $\alpha$ 的丢番图性质表述。