关于超几何级数中 $p$-adic 有界素数的密度公式：有理参数与二次无理数参数情形

我们研究超几何级数中 $p$-adic 有界素数的密度，具体讨论两种情形：一种是广义超几何级数（参数为有理数）的情形，另一种是 $_2F_1$ 类型级数的二次扩张参数情形。在有理参数情形下，我们将之前针对 $_2F_1$ 的工作推广到 $_nF_{n-1}$，给出有界素数密度的精确公式。证明表明，当级数具有有限单调性时（即由 Beukers-Heckmann 分类），该密度恰为1。在二次无理数参数情形中，我们给出有界素数密度的无条件下界。若假设二次无理数的 $p$-adic 数字满足正态性，则该下界可证明为有界素数密度的精确公式。在二次无理数情形中，有界素数密度的平凡上界为 $1/2$。本文最后一节讨论了达到该上界的级数的一些结果与计算。我们所发现的所有实例均与虚二次域相关联，尽管尚未证明此必然成立。