完美域上五次 Del Pezzo 曲面

本文以显式几何术语研究任意完美域 $\mathbf{k}$ 上五次 Del Pezzo 曲面 $X$ 的分类。更确切地说，在每种情形中，我们利用 Petersen 图来刻画 $X$ 的 $(-1)$-曲线上的 $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbf{k}}/\mathbf{k})$-作用，并显式描述其自同构群 $\operatorname{Aut}_{\mathbf{k}}(X)$。对于 $X$ 非极小的情形，我们描述如何将其实现为 $\mathbb{P}^{2}$ 或 $\mathbb{P}^{3}$ 中（极小的）二次曲面的 blow-up，并分类至 $\mathbf{k}$-同构。在所有情形中，$\operatorname{Aut}_{\mathbf{k}}(X)$ 群的元素均以几何方式描述。