某些特殊方程的可满足度

Gustafson 的一个著名定理指出，在非阿贝尔群中，$xy=yx$ 的可满足度，即两个均匀随机选取的群元素 $x,y$ 满足方程 $xy=yx$ 的概率，不超过 $\frac{5}{8}$。Antolin、Martino 和 Ventura（arXiv:1511.07269）关于将可满足度推广到有限生成群的开创性工作，引发了对其他方程的 Gustafson 式性质的新兴趣。近期针对 2-Engel 和亚交换恒等式已获得正面结果（arXiv:1809.02997）。此处我们证明方程 $xy^2=y^2x$、$xy^3=y^3x$ 和 $xy=yx^{-1}$ 的可满足度要么为 1，要么不超过 $1-\varepsilon$（其中 $\varepsilon$ 为某正常数）。利用 Antolin-Martino-Ventura 形式体系，我们引入判据以识别哪些方程在有限指数子群中成立当且仅当它们具有正可满足度。我们推断方程 $xy=yx^{-1}$ 和 $xy^2=y^2x$ 不具备此性质。