海廷代数中的可满足度

给定一个有限结构 $M$ 与性质 $p$，研究 $p$ 在 $M$ 中的可满足度（即：在 $M$ 中均匀随机选取的元素满足 $p$ 的概率是多少）是自然的问题。在群论中，Gustafson 的一个著名结果表明方程 $xy=yx$ 具有有限可满足度间隙：其可满足度要么为 $1$（在阿贝尔群中），要么不超过 $\frac{5}{8}$。可满足度已被证明在（有限与无限）类群与类环代数结构的研究中有用，但有限可满足度间隙问题尚未在类格、序论背景中被考虑。在此我们研究海廷代数与直觉主义逻辑背景下的可满足度问题。我们按有限可满足度间隙对所有含一个自由变量的方程进行分类，并确定哪些多自由变量的经典逻辑常见原理具有有限可满足度间隙。特别地，我们证明：在有限非布尔海廷代数中，随机选取的元素满足 $x \vee \neg x = \top$ 的概率不超过 $\frac{2}{3}$。最后，我们将结果推广到无限海廷代数，并给出其在点集拓扑、黑箱代数与逻辑哲学中的应用。