两个 Hilbert 模的张量积分解

给定一对正实数 $\alpha, \beta$ 以及有界域 $\Omega \subset \mathbb C^m$ 上的半解析函数 $K$，本文研究取值于 $m\times m$ 矩阵的半解析函数 $\mathbb K^{(\alpha, \beta)}:= K^{\alpha+\beta}\big(\partial_i\bar{\partial}_j\log K\big )_{i,j=1}^ m$ 的性质。关键发现之一是，当 $K^\alpha$ 和 $K^\beta$ 均为非负定时，$\mathbb K^{(\alpha, \beta)}$ 也是非负定的。在此情形下，得到了由核 $\mathbb K^{(\alpha,\beta)}$ 确定的 Hilbert 模的一个实现。设 $\mathcal M_i$，$i=1,2,$ 是多项式环 $\mathbb C[z_1, \ldots, z_m]$ 上的两个 Hilbert 模。则 $\mathbb C[z_1, \ldots, z_{2m}]$ 自然地作用于张量积 $\mathcal M_1\otimes \mathcal M_2$。利用限制映射 $p \mapsto p_{|\Delta}$ 将该作用限制到多项式环 $\mathbb C[z_1, \ldots, z_m]$ 上，得到了张量积 $\mathcal M_1\otimes \mathcal M_2$ 的一个自然分解，本文对其进行了研究。该分解中的两个初始部分被识别出来。