十一维超引力中的可分解 (4,7) 解

考虑一个定向四维洛伦兹流形 $(\widetilde{M}^{3, 1}, \widetilde{g})$ 和一个定向七维黎曼流形 $(M^{7}, g)$。我们描述了一类产品流形 $({\mathcal{M}}^{10, 1}=\widetilde{M}^{3,1} \times M^7, g_{\mathcal{M}}=\widetilde{g}+g)$ 上的可分解十一维超引力背景，其通量形式由 $\widetilde{M}^{3, 1}$ 上的体积形式与 $M^{7}$ 上的一个闭 $4$-形式 $F^{4}$ 给出。我们表明，此类通量形式的麦克斯韦方程可用余闭 3-形式 $\phi=\star_{7}F^{4}$ 读出。此外，超引力方程约化为如下条件：$(\widetilde{M}^{3,1},\widetilde{g})$ 是具有负爱因斯坦常数的爱因斯坦流形，且 $(M^7, g, F)$ 是一个黎曼流形，满足带有与 3-形式 $\phi$ 相关的应力-能量张量的爱因斯坦方程。当此 3-形式为泛型时，麦克斯韦方程在 $M^{7}$ 上诱导出弱 ${\rm G}_2$-结构，于是我们得到由弱 ${\rm G}_2$-流形 $(M^7, \phi, g)$ 与洛伦兹爱因斯坦流形 $(\widetilde{M}^{3,1},\widetilde{g})$ 的乘积给出的可分解超引力背景。我们对紧李群 $G$ 的齐性 7-流形 $M^{7}=G/H$ 进行了分类，并指出其中哪些陪集容许不变或非不变 ${\rm G}_2$-结构，甚至不容许 ${\rm G}_2$-结构。随后我们构造了带有满足麦克斯韦方程的非泛型不变 3-形式的紧齐性黎曼 7-流形的例子，但此类可分解齐性超引力背景的构造仍是一个开放问题。