布尔映射单射性的判定：基于蕴涵项的判定条件与算法

本文处理判定由$n$个布尔变量构成的布尔映射$F$的可逆性（或单射性）这一计算问题。该问题是判定有限域$\mathbb{F}_q$上映射$F:\mathbb{F}_{q}^n\rightarrow\mathbb{F}_{q}^n$在$q=2$时可逆性问题的特例。如\cite{RamSule}所示，$F$可逆的代数条件已知等价于$F$的Koopman算子的可逆性。本文针对布尔映射$F:B_0^n\rightarrow B_0^n$（其中$B_0$为二元素布尔代数）推导了以该映射所定义布尔方程的\emph{蕴涵项}（implicants）表述的可逆性条件。此条件随后推广至含$n$个变量与$m\geq n$个方程的一般映射情形。因此，该条件以蕴涵项而非Koopman算子，另辟蹊径地回答了定义在二元域$\mathbb{F}_2$上映射$F$可逆性的特例。在有限域上判定映射$F$可逆性（或求其伊甸园(Garden of Eden, GOE)）的问题不同于可满足性问题（SAT）或有限域上多项式方程组相容性判定问题。因而，用于判定SAT或利用Grobner基检验由多项式生成理想中成员资格的知名算法，尚不知能否回答映射可逆性问题。类似地，即便对二元域$\mathbb{F}_2$上的映射，可满足性或多项式可解性算法似乎亦无助于计算$F$的GOE。