联合分布的非交互式模拟的可判定性

我们给出了“非交互式”模拟问题一个子类的可判定性结果，该类问题是信息论中研究充分的一类问题。一个非交互式模拟问题由两种分布 $P(x,y)$ 和 $Q(u,v)$ 指定：目标是确定两名玩家 Alice 和 Bob，分别观察到序列 $X^n$ 和 $Y^n$（其中 $\{(X_i, Y_i)\}_{i=1}^n$ 从 $P(x,y)$ 独立同分布抽取）能否分别生成变量 $U$ 和 $V$（彼此不通信），使得其联合分布与 $Q(u,v)$ 在总变差意义上任意接近。即便 $P$ 和 $Q$ 极其简单：例如 $P$ 在三元组 $\{(0,0), (0,1), (1,0)\}$ 上均匀，而 $Q$ 是一个“双重对称二元源”，即 $U$ 和 $V$ 是均匀 $\pm 1$ 变量且相关系数比如说 $0.49$，是否 $P$ 能模拟 $Q$ 仍是开放问题。本工作中，我们证明只要 $P$ 是有限域上的分布且 $Q$ 是一个 $2 \times 2$ 分布，则非交互式模拟问题可判定：具体而言，给定 $\delta > 0$，算法运行时间以 $P$ 和 $\delta$ 的某个函数为界，要么给出一个与 $Q$ 的 $\delta$ 接近的非交互式模拟协议，要么断言没有任何协议能达到与 $Q$ 的 $O(\delta)$ 接近。此类结果的主要挑战在于确定从 $P(x,y)$ 抽取样本数 $n$ 以逼近 $Q$ 至 $\delta$ 距离的显式（可计算）收敛界。我们借助布尔函数分析中的当代结果如不变性原理和正则引理来获得此类显式界。