网络上 SIS 流行病向整体健康状态的衰减

基于一种新的代数方法，解析计算了完全图 $K_{N}$ 上 SIS 流行病的衰减速率，该方法能以任意精度计算随机三对角矩阵的第二大特征值。后一问题早在 1950 年左右就已得到关注，主要通过正交多项式理论和概率论进行研究。第二大特征值（也称为\emph{衰减参数}）的精确确定一直是普遍生灭过程和随机游走中出现的一个突出问题。将我们的通用框架应用于 SIS 流行病表明，在任何具有 $N$ 个节点的网络中，SIS 流行病的最大平均寿命不超过（但对于 $K_{N}$ 是紧的）： E\left[ T\right] \sim\frac{1}{\delta}\frac{\frac{\tau}{\tau_{c}}\sqrt{2\pi}% }{\left( \frac{\tau}{\tau_{c}}-1\right) ^{2}}\frac{\exp\left( N\left\{ \log\frac{\tau}{\tau_{c}}+\frac{\tau_{c}}{\tau}-1\right\} \right) }{\sqrt {N}}=O\left( e^{N\ln\frac{\tau}{\tau_{c}}}\right) 对于大 $N$ 且有效感染率 $\tau=\frac{\beta}{\delta}$ 高于流行病阈值 $\tau_{c}$ 的情况。我们对 $E\left[ T\right]$ 的阶估计改进了 Draief 和 Massouli\'{e} \cite{Draief_Massoulie} 的阶估计 $E\left[ T\right] =O\left( e^{bN^{a}}\right)$。结合 Mountford \emph{et al.} \cite{Mountford2013} 的下界结果和我们的上界，我们得出结论：对于几乎所有图，当 $\tau>\tau_{c}$ 时，吸收的平均时间为 $E\left[ T\right] =O\left( e^{c_{G}N}\right)$，其中 $c_{G}>0$ 取决于图 $G$ 的拓扑结构和 $\tau$。