混沌动力学方程的数据驱动重构：Hénon-Heiles型系统

本研究考虑经典二维势能$V_N=\frac{1}{2}\,m\,\omega^2\,r^2 + \frac{1}{N}\,r^N\,\sin(N\,\theta)$，$N \in {\mathbb Z}^+$。当$N=1,2$时，系统分别为超可积和可积，而对于$N>2$，系统表现出更丰富的混沌动力学。例如，当$N=3$时，系统与Hénon-Heiles系统一致。利用时间序列、庞加莱截面、对称线和最大李雅普诺夫指数作为能量$E$和参数$N$的函数，系统地刻画了周期、拟周期和混沌运动。详细给出了最低情况$N=3,4$的具体结果。该模型作为基准系统，用于评估稀疏识别非线性动力学系统（SINDy）方法的准确性，这是一种数据驱动算法，用于重构底层控制动力学方程。我们特别关注从规则运动到混沌的转变以及这如何影响算法的精度。特别地，研究表明SINDy是一种稳健且稳定的工具，能够为周期轨迹生成非平凡的近似解析表达式。