凸解析函数的阻尼振荡积分

设 $H\subset\R^{d+1}$ 为一紧凸、解析、类型为有限的光滑测度 $\sigma$ 的光滑超曲面，记 $\kappa$ 为 $H$ 上的高斯曲率。我们考察带阻尼因子 $\kappa^{1/2}$ 的振荡积分 $(\kappa^{1/2} \sigma)^\wedge$，并证明具有最佳衰减估计\n\n$$|(\kappa^{1/2} \sigma )^{\wedge}(\xi)|\le C|\xi|^{-d/2}$$\n\n其中 $d=2,3$，且在 $d=4$ 时会出现额外的对数因子。我们的结果提供了本质上的完整答案，因为当 $d\ge 5$ 时，即使针对紧凸解析超曲面，这类衰减估计也会失败，正如 Cowling--Disney--Mauceri--M"uller 所示。此外，我们还证明了相同估计适用于 $(\kappa^{1/2+it} \sigma )^\wedge$，其中常数 $C$ 随着 $|t|$ 的多项式增长。作为推论，我们得到与 $H$ 相关的卷积、最大算子及其余弦限制算子的最佳估计，并将最优阶数的缓和因子纳入其中。特别地，对于 $d=2, 3$，我们证明了关于仿射曲面测度 $\kappa^{1/(d+2)} \sigma$ 的 $L^2$-$L^{2(d+2)/(d+4)}$ 限制估计。本工作灵感来自 Basu--Guo--Zhang--Zorin-Kranich 的 stationary set 方法。