$D$ 维元胞自动机给出 Salem 奇异函数 $L_{\alpha}$，其中 $\alpha=1/(2D+1)$ 与 $1/(2^D+1)$

Salem 奇异函数在 $[0,1]$ 上严格递增、连续且导数几乎处处为零；它也被称为 de Rham 奇异函数或 Lebesgue 奇异函数。Salem 奇异函数 $L_{\alpha}$ 的参数为 $\alpha \in (0, 1)$ 且 $\alpha \neq 1/2$。我们先前的研究表明，对于某些元胞自动机（CA）的时空模式极限集为分形的情形，将模式投影到时间轴上可给出 $\alpha = 1/3$、$1/4$ 或 $1/5$ 的 Salem 奇异函数。然而，是否存在一个 CA 能给出参数 $\alpha$ 等于大于 $5$ 的整数之倒数的 Salem 奇异函数仍不清楚。本文中，我们构造了对于每个维数 $D \geq 1$ 给出 $\alpha= 1/(2D+1)$ 与 $\alpha = 1/(2^D+1)$ 的 Salem 奇异函数的 CA。这意味着存在给出参数 $\alpha$ 等于任意大于等于 $3$ 的整数之倒数的 Salem 函数的 CA。我们还给出了数值实验结果，表明对于 $D \leq 5$，除上述两类外由 $D$ 维线性对称 $2$ 态半径-$1$ CA 给出的函数不能是 $\alpha = 1/M$（$M \in {\mathbb Z}_{\geq 3}$）的 Salem 函数。除方格点阵外，三角与六角点阵也可视为二维平面中的正则点阵，我们也讨论了从这些点阵上的 CA 所得的函数。