$D_4\dot{+} T^2$模态相互作用与隐藏旋转对称性

施加周期边界条件或Neumann边界条件的分岔问题常涉及具有欧氏对称性的偏微分方程。因此,即便该对称性被边界条件破坏,分岔的正规形方程仍可能受到方程“隐藏”的欧氏对称性约束。通过分析与$D_4\dot{+} T^2$对称的正规形$\tilde{F}$何时可延拓为具有欧氏对称性的向量场${\rm \cal F}$,研究了这种隐藏旋转对称性对$D_4\dot{+} T^2$模态相互作用的影响。详细处理了$D_4\dot{+} T^2$的两个不可约表示之间二元模态相互作用的基本情形。给出了当欧氏群${\rm \cal E}(2)$不可约地作用时允许$\tilde{F}$延拓的充要条件。当欧氏作用可约时,旋转不对二元模态相互作用的正规形施加任何约束。在应用中,这种对${\rm \cal E}(2)$表示的依赖性意味着:若临界特征值为虚数,则隐藏旋转的影响不存在。讨论了这些结果向更复杂模态相互作用的推广。