圆分高登模型、Miura 算子与旗簇

设 $\mathfrak{g}$ 为复数域 $\mathbb{C}$ 上的半单李代数。设 $\nu \in \text{Aut}\, \mathfrak{g}$ 为一个图自同构，其阶数整除 $T \in \mathbb{Z}_{\geq 1}$。我们将圆分 $\mathfrak{g}$-算子（cyclotomic $\mathfrak{g}$-opers）定义为黎曼球面 $\mathbb{P}^1$ 上特定形式的 $\mathfrak{g}$-值联络的规范等价类，其在循环群 $\mathbb{Z}/ T\mathbb{Z}$ 对 $\mathfrak{g}$ 和 $\mathbb{P}^1$ 的作用下是等变的。当 $T = 1$ 时，它退化为通常的 $\mathfrak{g}$-算子概念。我们还将 Miura $\mathfrak{g}$-算子的概念推广到了圆分情形。对于任意圆分 Miura $\mathfrak{g}$-算子 $\nabla$，我们关联一个对应的圆分 $\mathfrak{g}$-算子。设 $\nabla$ 在原点的留数由一个 $\nu$-不变有理主导余权重 $\check{\lambda}_0$ 给出，且在 $\mathbb{P}^1$ 的覆盖上是无单值的。我们证明，与 $\nabla$ 关联到同一圆分 $\mathfrak{g}$-算子的所有圆分 Miura $\mathfrak{g}$-算子的子集，同构于 $\mathfrak{g}$ 的伴随群 $G$ 的完整旗簇的 $\vartheta$-不变子集，其中自同构 $\vartheta$ 取决于 $\nu$、$T$ 和 $\check{\lambda}_0$。后者的大胞腔同构于 $N^\vartheta$，即幂单子群 $N \subset G$ 的 $\vartheta$-不变子群，我们将其识别为那些在原点留数与 $\nabla$ 相同的圆分 Miura $\mathfrak{g}$-算子。特别是，最近引入的圆分生成过程（见 [arXiv:1505.07582]）被解释为将 $\nabla$ 映射到对应于 $N^\vartheta$ 中元素的其他圆分 Miura $\mathfrak{g}$-算子，这些元素与简单根生成元相关联。我们通过提出两个猜想来论证引入圆分 $\mathfrak{g}$-算子的动机，这两个猜想将它们与 [arXiv:1409.6937] 中的圆分高登模型联系起来。