随机扰动图中的圈因子

我们研究在随机扰动图模型中寻找两两顶点不交的 $\ell$ 顶点圈 $C_\ell$ 的问题，该模型是确定性 $n$ 顶点图 $G$ 与二项随机图 $G(n,p)$ 的并。对于 $\ell \ge 3$，我们证明在 $p \ge C \log n/n$（其中 $C$ 足够大）的条件下，渐近几乎必然地 $G \cup G(n,p)$ 包含 $\min \{\delta(G), \lfloor n/\ell \rfloor \}$ 个两两顶点不交的圈 $C_\ell$。此外，当 $\delta(G) \ge\alpha n$ 且 $0<\alpha \le 1/\ell$，并且 $G$ 不“接近”完全二部图 $K_{\alpha n,(1-\alpha) n}$ 时，则 $p \ge C/n$ 就足以得到相同结论。这给出了我们结果的稳定性版本。特别地，我们得出结论：当 $\alpha>1/\ell$ 时，$p \ge C/n$ 足以找到 $\lfloor n/\ell \rfloor$ 个圈 $C_\ell$。我们的结果在渐近意义下是最优的。它们可被视为 Johansson--Kahn--Vu 关于 $C_\ell$-因子的定理与 Abbasi 对 $C_\ell$-因子的 El-Zahar 猜想之解决之间的插值。