稠密子序列中的素数峰值 —— 绕过 $W$-技巧

设 $A$-稠密素数子集 $\mathcal{P}^*\in[\sqrt{N},N]$ 的 $A$-峰值为 $\alpha\in\mathbb{R}/\mathbb{Z}$，满足 $|\sum_{\substack{p\in\mathcal{P}^*}} e(\alpha p)|\ge |\mathcal{P}^*|/A$。我们证明，任何 $(1/N)$-均匀分布的 $A$-峰值子集中至多包含 $20A^2K\log(2A)$ 个点，其中 $K=N/(|\mathcal{P}^*|\log N)$。我们进一步表明，当 $B\le \sqrt{A}$ 时，任何 $B$-峰值 $\xi$ 都伴随着形状为 $\xi+(a/q)$ 的 $A$-峰值的大比例。我们通过将特征函数 $1_{\mathcal{P}^*}$ 分解为形式 $1_{\mathcal{P}^*}=(V(z_0)\log N)^{-1}f^\flat +f^\sharp$ 来结束本研究，其中 $f^\sharp$ 的三角多项式仅取值 $\le |\mathcal{P}^*|/A$，而 $f^\flat$ 是受限于与 $M$ 互素整数上的非负有界函数；参数 $z_0$ 和 $M$ 由 $A$ 给出，而 $V(z_0)=\prod_{p<z_0}(1-1/p)$。函数 $f^\flat$ 满足更正则的性质。特别是，其相对于小于等于 $N$ 且与 $M$ 互素的整数的密度仍为 $K$。这将关于 $\mathcal{P}^*$ 的问题转化为关于与模数 $M$ 互素的整数的问题。