指数核族 $e^{-|x-y|^q}$ 在单位区间上最小能量配置的临界相变

我们研究单位区间上 $k$ 个有序点的最优布局问题，目标是最小化受限偶-型势函数 $$K_q(d)=e^{-d^q}, \qquad q>0.$$ 该族在 $0<q<1$ 时呈现强锋齿状核函数，达到阈值核 $e^{-d}$，以及更平坦的高斯型区间 $q>1$。我们的关注点在于从无碰撞最小化配置向端点坍缩最小化配置的转变。我们采用间隙变量进行问题重构，记录凸性、对称性以及 Karush-Kuhn-Tucker 条件，并给出一个简短的证明，表明 $0<q<1$ 时不可能发生碰撞。在阈值 $q=1$ 处，我们恢复 $e^{-d}$ 的端点聚类律；而对于 $q>1$，我们识别了关键指数 $q_k$，超出该值后内部点将不再最优。对于奇数 $k$，我们推导了精确的普适值 $$q_{2m+1} = \frac{\log(1/(-\log((1+e^{-1})/2)))}{\log 2} \approx 1.396363475,$$ 而对于偶数 $k=4,6,\dots,20$，我们计算数值临界值 $$\begin{aligned} &q_4\approx 1.062682507,\quad q_6\approx 1.155601329,\quad q_8\approx 1.206132611,\quad q_{10}\approx 1.238523533,\ &q_{12}\approx 1.261308114,\quad q_{14}\approx 1.278305167,\quad q_{16}\approx 1.291510874,\quad q_{18}\approx 1.302082885,\ &q_{20}\approx 1.310744185. \end{aligned}$$ 我们还包括 $e^{-\sqrt d}$、$e^{-d}$ 和 $e^{-d^2}$ 核的比较表格和图示，简要关联受限族与奇异 Riesz 核 $d^{-s}$，并指出 $q\to 0^+$ 的极限对应于区间 $[0,1]$ 上的 Fekete/Chebyshev--Lobatto 配置。