来自 $d$-矩阵理论全阶渐近展开的临界维数与小循环主导性

$\mathcal{N}=4$ 超对称杨-米尔斯理论的超对称部分激发了对计数在 $U(N)$ 伴随作用下变换的 $d=2,3$ 矩阵的规范不变函数的配分函数的研究。配分函数 $\mathcal{Z}_d(x)$ 在大 $N$ 极限下在 $x = d^{-1}$ 处具有已知的 Hagedorn 相变，这为 SYM 的热配分函数的相结构提供了一个简单模型。我们基于复平面上同心极点圆的几何图像研究了 $\mathcal{Z}_d(x)$ 的全阶渐近展开。我们发现逐阶结构具有精确的组合解释，该解释按照排列中出现的递增循环大小进行组织。我们将此组织方式称为小循环主导性，并发现它推广到依赖于若干复变量的配分函数的精细化版本。利用 Dedekind eta 函数的模性质对 $\mathcal{Z}_d(x)$ 渐近展开中的系数进行分析，揭示该渐近展开实际上对 $d \ge d_{\rm crit} = 13$ 是收敛的。$\mathcal{Z}_d(x)$ 的费米子版本具有类似的临界维数 $d_{\rm crit} = 7$。这一区别表明，当 $d \ge d_{\rm crit}$ 时，矩阵模型的配分函数可完全从它们的高能（紫外）极限重建，而当 $2 \le d \le d_{\rm crit} - 1$ 时，需要额外的输入来重建低能（红外）展开的精确系数。