计数具有有限群作用的 K3 曲面上的有理曲线

Göttsche 给出了光滑射影曲面 $S$ 上点 Hilbert 概形上同调维数的公式。当 $S$ 容许有限群 $G$ 的作用时，我们描述了 $G$ 在 Hodge 结构上的作用。在 $S$ 为 K3 曲面的情况下，$G$ 的每个元素在 $\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^{i}H^{i}(S^{[n]},\mathbb{C})q^{n}$ 上给出一个迹。当 $G$ 在 $S$ 上忠实且辛作用时，所得的生成函数形如 $q/f(q)$，其中 $f(q)$ 是一个尖形式。我们将点 Hilbert 概形的 Hodge 结构关联到 K3 曲面上积分线性系上 tautological 曲线族的紧化 Jacobian 的 Hodge 结构（作为 $G$-表示）。最后，我们给出了具有节点奇点的曲线之 $G$-轨道不对表示产生贡献的一个充分条件。