无强连通竞赛图的图的有向化计数

设 $S_k(n)$ 为一个 $n$ 顶点图 $G$ 中不含强连通 $K_k$ 拷贝的有向化的最大数目。对所有满足 $n\geq 5$ 或 $k\geq 5$ 的整数 $n$, $k\geq 4$，我们证明 $S_k(n) = 2^{t_{k-1}(n)}$，其中 $t_{k-1}(n)$ 为 $n$ 顶点 $(k-1)$ 部 Tur\'an 图 $T_{k-1}(n)$ 的边数，且 $T_{k-1}(n)$ 是唯一具有该有向化数目的 $n$ 顶点图。此外，$S_4(4) = 40$，且该极大性仅由 $K_4$ 实现。