超椭圆曲线的计数

我们找到了奇特征有限域 $k=\mathbb{F}_q$ 上亏格 $g$ 的超椭圆曲线数目 $\operatorname{hyp}(g)$ 的闭公式。这些数 $\operatorname{hyp}(g)$ 被表示为 $q$ 的整系数多项式，其系数依赖于 $q-1$ 与 $q+1$ 的因子集合。作为副产品，我们得到了亏格 $g$ 的自对偶曲线数目的闭公式。若一条超椭圆曲线与其自身的超椭圆扭转 $k$-同构，则称其为自对偶的。