通过停车结果计数 $\ell$-区间 Fubini 排序

具有 $n$ 名竞争者的 Fubini 排序是 $[n]=\{1,2,3,\ldots, n\}$ 中的 $n$ 元组，用于编码允许平局的赛跑结果。由于 Fubini 排序是停车函数，我们可以研究它们的停车结果，即使用 Fubini 排序作为偏好列表表示汽车最终停车顺序的置换。我们证明了具有固定停车结果 $\pi$ 的 $n$ 名竞争者的 Fubini 排序数量为 $2^{n-k}$，其中 $k$ 表示 $\pi$ 中的运行次数。我们随后利用该公式给出计算 Fubini 排序数量的新证明，其数量由 Fubini 数给出。我们还考虑具有 $n$ 名竞争者的 $\ell$-区间 Fubini 排序，这些是任意排名处最多有 $\ell+1$ 名竞争者平局的 Fubini 排序。我们表明，具有固定停车结果 $\pi$ 的 $n$ 名竞争者的 $\ell$-区间 Fubini 排序数量由 2 的幂与 $\ell$-Pingala 数的乘积给出，其中这些因子仅取决于组成停车结果 $\pi$ 的运行长度。$1$-区间 Fubini 排序已知为单位 Fubini 排序，我们证明具有固定停车结果 $\pi$ 的单位 Fubini 排序数量由组成 $\pi$ 中运行长度的斐波那契数索引的乘积给出。我们利用这些结果给出 $n$ 名竞争者的 $\ell$-区间 Fubini 排序数量的公式，其中 $\ell\in[n]$。我们随后提出进一步研究的方向。