关于停车函数的若干离散统计量

回顾 $\alpha=(a_1,a_2,\ldots,a_n)\in[n]^n$ 是一个停车函数，若其非递减重排 $\beta=(b_1,b_2,\ldots,b_n)$ 对所有 $1\leq i\leq n$ 满足 $b_i\leq i$。在本文中，我们基于停车函数的上升（满足 $a_i<a_{i+1}$ 的指标）、下降（满足 $a_i>a_{i+1}$ 的指标）和平局（满足 $a_i=a_{i+1}$ 的指标）对其进行研究。通过利用多重集欧拉多项式，我们给出了长度为 $n$ 且具有 $i$ 个下降的停车函数数量的生成函数。我们给出了长度为 $n$ 且在 $[n-1]$ 的指定子集处具有下降的停车函数数量的递推公式。我们证明了长度为 $n$ 且在 $I\subset[n-1]$ 处具有下降的停车函数数量与在 $J=\{n-i:i\in I\}$ 处具有下降的停车函数数量是等数的。作为一个特例，我们证明了长度为 $n$ 且在前 $k$ 个指标处具有下降的停车函数数量由 $f(n, n-k-1)=\frac{1}{n}\binom{n}{k}\binom{2n-k}{n-k-1}$ 给出。我们通过将其与形状为 $((n-k)^2,1^k)$ 的标准杨表集合（其由 $f(n,n-k-1)$ 计数）建立双射来证明这一点。我们还研究了停车函数的峰值，即满足 $a_{i-1}<a_i>a_{i+1}$ 的指标。我们证明了无峰值且无平局的停车函数集合由卡塔兰数计数。我们通过刻画何时停车函数可由其统计量编码（即指示停车函数中哪些指标为上升、下降和平局的字）唯一确定来结束我们的研究。我们在全文中提供了开放问题。