具有相同的度序列但大环数不同的等谱二部图
离散数学
2019-06-03 v1 组合数学
摘要
在包括低密度奇偶校验（LDPC）码分析与设计在内的许多领域中，计算二部图中环的重数是一个基本问题。最近，Blake 和 Lin 根据双正则二部图的度序列和谱（邻接矩阵的特征值）计算了最短环（g-环，其中 g 为图的围长）的数量 [IEEE Trans. Inform. Theory 64(10):6526–6535, 2018]。该结果随后在 [IEEE Trans. Inform. Theory, accepted for publication, Dec. 2018] 中被推广到双正则二部图中长度为 g+2, …, 2g-2 的环，以及非正则和半正则二部图中分别 g ≥ 4 和 g ≥ 6 时的 4-环和 6-环。在本文中，我们以否定结果补充这些正面结果，表明二部图的度序列和谱的信息通常不足以计算 (a) 双正则图中 i-环（i ≥ 2g）的数量，(b) 非正则图中任意 i > g 的 i-环（无论 g 取何值）以及 g ≥ 6 时的 g-环，以及 (c) 半正则图中任意 i > g 的 i-环（无论 g 取何值）以及 g ≥ 8 时的 g-环。为得到这些结果，我们利用 Godsil-McKay 切换构造了反例。
引用
@article{arxiv.1905.13228,
title = {Cospectral Bipartite Graphs with the Same Degree Sequences but with Different Number of Large Cycles},
author = {Ali Dehghan and Amir H. Banihashemi},
journal= {arXiv preprint arXiv:1905.13228},
year = {2019}
}
备注
The majority of this paper is also available in the first version of arXiv:1806.01433