宇宙学视界、不确定性原理与最大长度量子力学

宇宙学粒子视界是宇宙中可测量的最大长度。这种最大可观测长度尺度的存在意味着量子不确定性原理的修正。因此,由于量子力学的非局域性,宇宙的整体性质可能在局域量子系统的行为上产生印记。一种与这种最大可观测长度尺度$l_{max}$存在一致的广义不确定性原理(GUP)为$\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}\;\frac{1}{1-\alpha \Delta x^2}$,其中$\alpha = l_{max}^{-2}\simeq (H_0/c)^2$($H_0$是哈勃参数,$c$是光速)。除了存在最大可测量长度$l_{max}=\frac{1}{\sqrt \alpha}$外,这种形式的GUP还意味着存在最小可测量动量$p_{min}=\frac{3 \sqrt{3}}{4}\hbar \sqrt{\alpha}$。利用位置和动量量子算符的适当表示,我们表明一维谐振子的能谱变为$\bar{\mathcal{E}}_n=2n+1+\lambda_n \bar{\alpha}$,其中$\bar{\mathcal{E}}_n\equiv 2E_n/\hbar \omega$是适当归一化的无量纲第$n$能级,$\bar{\alpha}$是无量纲参数,$\bar{\alpha}\equiv \alpha \hbar/m \omega$,且对于$n\gg 1$,$\lambda_n\sim n^2$(文中给出了$\lambda_n$的完整形式)。对于典型的振动双原子分子和$l_{max}=c/H_0$,我们发现$\bar{\alpha}\sim 10^{-77}$,因此对于这种系统,这种效应超出了当前实验的范围。然而,这种效应在早期宇宙可能更重要,并可能产生由暴胀场量子涨落诱导的原初扰动谱中的特征。