基于白噪声源的相关被动成像

被动成像是指记录由未知源产生的波，并利用它们对波传播所经过的介质进行成像的问题。这些源通常被建模为随机变量，并假设存在某些可用的统计信息。在本文中，我们研究随机波动方程 $\partial_t^2 u - \Delta_g u = \chi W$，其中 $W$ 是在 ${\mathbb R}^{1+n}$（$n \ge 3$）上具有白噪声统计特性的随机变量，$\chi$ 是在负时间及空间中紧致集外消失的平滑函数，$\Delta_g$ 是与 ${\mathbb R}^n$ 上平滑非俘获 Riemann 度规张量 $g$ 相关联的 Laplace-Beltrami 算子。度规张量 $g$ 对待成像的介质进行建模，我们假设它在紧致集外与 Euclid 度规一致。我们考虑开集 $\mathcal X \subset {\mathbb R}^n$ 上的经验相关性，$$C_T(t_1, x_1, t_2, x_2) = \frac 1 T \int_0^T u(t_1+s,x_1) u(t_2+s,x_2) ds, \quad t_1,t_2>0,\ x_1,x_2\in \mathcal X,$$ 其中 $T>0$。假设 $\chi$ 在 $\mathcal X$ 上非零且在 $t > 1$ 后随时间恒定，我们证明在 $T \to \infty$ 的极限下，数据 $C_T$ 变得在统计上稳定，即独立于 $W$ 的实现。我们的主要结果是，以概率一，该极限在等距意义下确定 Riemann 流形 $({\mathbb R}^n,g)$。据我们所知，这是第一个表明在被动成像设置中无需假设尺度分离即可确定介质的结果。