单次测量与伪随机噪声下的波动方程反问题

我们考虑$\R^n$中的波动方程$(\p_t^2-\Delta_g)u(t,x)=f(t,x)$，满足$u|_{\R_-\times \R^n}=0$，其中度量$g=(g_{jk}(x))_{j,k=1}^n$在具有光滑边界$\p M$的开有界集$M\subset \R^n$的外部是已知的。我们将确定性源$f(t,x)$定义为伪随机噪声，它是点源之和，即$f(t,x)=\sum_{j=1}^\infty a_j\delta_{x_j}(x)\delta(t)$，其中点$x_j,\ j\in\Z_+$在$\p M$上构成稠密集。我们证明，当权重$a_j$被适当选取时，$u|_{\R\times \p M}$确定了$\p M$上的散射关系，即它确定了所有穿过$M$的测地线的走时，以及进入和出射的点与方向。波$u(t,x)$包含了由所有点源产生的奇异性，但当对于某个$\lambda>1$有$a_j=\lambda^{-\lambda^{j}}$时，我们可以追溯出在数据中产生给定奇异性的点源。这给出了$(\R^n, g)$中源点$x_j$与任意点$y \in \p M$之间的距离。特别地，如果$(\bar M,g)$是简单黎曼流形且$g$在$\bar M$中是共形欧几里得的，已知这些距离可以确定$M$中的度量$g$。在$(\bar M,g)$非简单的情况下，我们对波前进行了更详细的分析，从而得出了$\p M$上的散射关系。