核心拥堵是双曲网络的内在属性

我们研究负曲率对大规模网络交通拥堵的影响。我们证明每个格罗莫夫双曲网络 $G$ 都存在一个核心，从而肯定了 Jonckheere、Lou、Bonahon 和 Baryshnikov 在 Internet Mathematics, 7 (2011) 中提出的一个猜想；该猜想基于 Narayan 与 Saniee 在 Physical Review E, 84 (2011) 中的实验观察，即双曲性较小的真实网络具有核心拥堵。具体而言，我们证明对于 $\delta$-双曲图 $G$ 的任意顶点子集 $X$，存在 $G$ 的一个顶点 $m$，使得以 $m$ 为中心、半径为 $4\delta$ 的磁盘 $D(m,4 \delta)$ 截获 $X$ 中所有顶点对之间总流量的最少一半，其中两个顶点 $x,y\in X$ 之间的流量由测地（或拟测地）$(x,y)$-路径承载。若集合 $S$ 与 $x$ 和 $y$ 之间每条最短路径相交，则称 $S$ 截获节点 $x$ 与 $y$ 之间的流量。与 Jonckheere 等人的猜想不同，我们表明 $m$ 并非（且不能是）$X$ 的质心，而是所谓 $X$ 的单射包中接近 $X$ 中位数的一个节点。对于 $X$ 中节点间非均匀流量的情况（此时单位流量仅存在于由商品图 $R$ 定义的 $X$ 的某些节点对之间），我们证明了一个原始-对偶结果：对于任意 $\rho>5\delta$，截获 $R$ 所有节点对的 $\rho$-多核（即半径为 $\rho$ 的磁盘数量）的规模，以 $R$ 中两两 $(\rho-3\delta)$-分离节点对的最大数量为上界。