$g$-期望及相关风险度量的凸性、平移不变性与次可加性

在生成元 $g$ 连续性的假设下，Briand 等人 [Electron. Comm. Probab. 5 (2000) 101--117] 揭示了 $g$ 与条件 $g$-期望 $({\mathcal{E}}_g[\cdot|{\mathcal{F}}_t])_{t\in[0,T]}$ 之间的联系，Rosazza Gianin [Insurance: Math. Econ. 39 (2006) 19--34] 揭示了 $g$ 与相应的动态风险度量 $(\rho^g_t)_{t\in[0,T]}$ 之间的联系。在本文中，我们证明在不额外假设 $g$ 连续性的情况下，$g$-期望 ${\mathcal{E}}_g$ 满足平移不变性当且仅当 $g$ 独立于 $y$，且 ${\mathcal{E}}_g$ 满足凸性（或次可加性）当且仅当 $g$ 独立于 $y$ 且 $g$ 关于 $z$ 是凸的（或次可加的）。基于这些结论，我们推导出由 $g$-期望 ${\mathcal{E}}_g$ 诱导的静态风险度量 $\rho^g$ 是凸的（或相干的）风险度量当且仅当 $g$ 独立于 $y$ 且 $g$ 关于 $z$ 是凸的（或次线性的）。我们的结果推广了 Briand 等人 [Electron. Comm. Probab. 5 (2000) 101--117] 和 Rosazza Gianin [Insurance: Math. Econ. 39 (2006) 19--34] 在这些主题上的结果。