Gromov–Hausdorff 空间中球的凸性

本文研究所有非空紧度量空间在等距意义下构成的空间 $\mathcal{M}$，其配备 Gromov–Hausdorff 距离。我们证明 $\mathcal{M}$ 中以一点空间为中心的每个球在弱意义下是凸的，即此种球中的任意两点可由属于该球的最短曲线连接，然而，该球在强意义下不是凸的：并非所有连接球中两点的最短曲线都属于该球。我们还证明，以一般位置空间为中心、半径足够小的球在弱意义下是凸的。