交换关联泛函的凸性与平移不变性约束

了解形式为 $\frac 1\lambda v_{xc}([\rho _\lambda ],\frac{{\bf r}}\lambda )$ 的交换关联泛函的性质（其中 $\rho _\lambda ({\bf r})=$ $\lambda ^3\rho (\lambda {\bf r})$）对于将交换关联能表示为线积分 $E_{xc}[\rho ]=\int_0^1d\lambda \int d{\bf r}\frac 1\lambda v_{xc}([\rho _\lambda ],\frac{{\bf r}}\lambda )\left[ 3\rho ({\bf r})+{\bf r.\nabla }\rho ({\bf r})\right]$（van Leeuwen 和 Baerends，Phys. Rev. A {\bf 51}, 170 (1995)）至关重要。基于此，我们证明了在低密度极限下 $\lim_{\lambda \rightarrow 0}\int \rho ({\bf r})\nabla ^2\frac 1\lambda v_{xc}([\rho _\lambda ],\frac{{\bf r}}\lambda )\ d^3r\leq 4\pi \int \rho ({\bf r})^2d^3r.$ 该不等式在局域密度近似中被违反。