积分变分问题的凸松弛：逐点对偶松弛与平方和优化
最优化与控制
2023-08-15 v2
摘要
我们提出一种求积分变分问题全局下确界下界的方法，其中在满足条件等式或不等式约束的函数 u∶Ω⊂R^n→R^m 上最小化 ∫_Ω f(x,u(x),∇u(x)) dx。每个约束可在 Ω 或其边界上施加，逐点或依积分意义。这些全局极小化通常是非凸且难解的。我们构造一个特定的凸极大化问题，此处称为逐点对偶松弛（PDR），其 supremum 是原问题下确界的下界。PDR 可通过将原问题对偶化并松弛得到；其约束是有限维集合上的逐点等式或不等式，而非无限维函数空间上的约束。当原极小化可由 (x,u,∇u) 的多项式函数描述时，PDR 可进一步通过用多项式平方和（SOS）条件替代逐点不等式来松弛。所得 SOS 程序在维数 m,n 与约束数目不太大时计算上易处理。此处框架推广了 Valmorbida、Ahmadi 与 Papachristodoulou 的方法（IEEE Trans. Automat. Contr., 61:1649–1654, 2016）。我们证明对若干类问题 PDR 给出的最优下界是紧的，其特例包括 Sturm-Liouville 问题的前导特征值与 Poincaré 不等式的最优常数。对同样这些类，我们证明 PDR 的 SOS 松弛随多项式次数增加收敛到紧下界。实践中 SOS 计算的收敛性由若干例子说明。
引用
@article{arxiv.2110.03079,
title = {Convex relaxations of integral variational problems: pointwise dual relaxation and sum-of-squares optimization},
author = {Alexander Chernyavsky and Jason J. Bramburger and Giovanni Fantuzzi and David Goluskin},
journal= {arXiv preprint arXiv:2110.03079},
year = {2023}
}