具有超平面对称性截面的凸体

设 $K\subset \mathbb{R}^n$ 为凸体，且 $p$ 位于 $K$ 的内部，$n \geq 3$。若对任意经过 $p$ 的超平面 $\Pi$，截面 $\Pi\cap K$ 具有 $(n-2)$ 维对称平面，则称点 $p$ 为 $K$ 的 \textit{Larman 点}。若进一步要求对于任意经过 $p$ 的超平面 $\Pi$，截面 $\Pi\cap K$ 的 $(n-2)$ 维对称平面均包含 $p$，则称 $p$ 为靦 (revolution) 点。在本文中，我们证明：若凸体 $K$ 满足 $n \geq 3$，存在超平面 $H$ 和点 $p$，使得 $p$ 为 $K$ 的 Larman 点但非靦 点，且对任意经过 $p$ 的超平面 $\Pi$，截面 $\Pi \cap K$ 都有一个与 $H$ 平行的 $(n-2)$ 维对称平面，则 $K$ 为以 $H$ 的法向为轴的旋转椭球体。