前向-Douglas-Rachford 分裂算法的收敛速率分析

算子分裂方案是一类强大的算法，用于求解由多个简单部分构成的复杂单调包含与凸优化问题。这类算法将分解后的所有简单部分逐一处理，从而得到易于实现、高度可并行化或分布式的算法，且通常能取得接近当前最优的性能。本文分析了前向-Douglas-Rachford 分裂（FDRS）算法的收敛速率，该算法是前向-后向分裂（FBS）和 Douglas-Rachford 分裂（DRS）算法的推广。在一般凸性假设下，我们推导了 FDRS 算法的遍历与非遍历收敛速率，并证明这些速率是最优的。在 Lipschitz 可微性假设下，我们证明 FDRS 的最佳迭代点收敛速度与 FBS 算法的最终迭代点一样快。在强凸性假设下，我们推导了强收敛到极小点的序列的收敛速率。在强凸性与 Lipschitz 可微性假设下，我们证明 FDRS 具有线性收敛速率。我们也提供了目标函数强凸但 FDRS 收敛可任意缓慢的例子。最后，我们将 FDRS 算法与一种原始-对偶前向-后向分裂方案联系起来，并阐明其在现有分裂方法中的位置。我们的结果表明，FDRS 算法能自动适应目标函数的正则性，并取得优于无光滑性与强凸性时尖锐最坏情形速率的收敛速率。