高维 robit 回归数据增广算法的收敛性质

logistic 与 probit 链接函数是二值响应回归模型最常见的选择。然而，这些选择对离群值/异常观测的存在不具备鲁棒性。robit 链接函数等于 Student's $t$ 分布的逆 CDF，为 probit 与 logistic 链接函数提供了鲁棒的替代方案。回归系数的多元正态先验是 robit 回归模型中贝叶斯推断的标准选择。所得后验密度难以处理，故使用数据增广（Data Augmentation, DA）马尔可夫链来从目标后验分布生成近似样本。确立该 DA 马尔可夫链的几何遍历性十分重要，因其为所需后验期望/分位数的 MCMC 标准误的渐近有效性提供了理论保证。先前工作 [Roy(2012)] 在该 DA 马尔可夫链满足 (i) 样本量 $n$ 主导预测变量数 $p$，且 (ii) 要求样本量以上界受限于依赖于设计矩阵 $X$ 的固定常数为条件的额外约束下，确立了其几何遍历性。特别地，未考虑 $n < p$ 的现代高维情形。本文中，我们证明对于任意样本量 $n$、预测变量数 $p$、设计矩阵 $X$ 及先验均值与方差参数的选择，robit DA 马尔可夫链是迹类（即相应马尔可夫算子的特征值可和）的。迹类性质蕴含几何遍历性。此外，该性质使我们可得出结论：夹心 robit 链（通过在 DA 链两步之间插入一个廉价额外步获得）在恰当意义下严格优于 robit DA 链。