迹类数据增强算法及其三明治变体的谱分析比较

数据增强（DA）算法是一种广泛使用的马尔可夫链蒙特卡洛算法，易于实现但通常收敛缓慢。三明治算法是一种替代方案，它可以更快地收敛，同时每次迭代所需的计算量大致相同。理论上，三明治算法总是至少与相应的DA算法一样快地收敛，即$\Vert {K^*}\Vert \le \Vert {K}\Vert$，其中$K$和$K^*$分别是与DA和三明治算法相关的马尔可夫算子，$\Vert\cdot\Vert$表示算子范数。在本文中，发展了该算子范数不等式的实质性改进。特别地，在正则性条件（意味着$K$是迹类算子）下，证明了$K^*$也是正迹类算子，并且$K^*$的谱在某种意义上支配$K$的谱，即前者的有序元素都小于或等于后者的对应元素。此外，如果三明治算法是使用群作用构造的，如Liu和Wu [J. Amer. Statist. Assoc. 94 (1999) 1264--1274]以及Hobert和Marchev [Ann. Statist. 36 (2008) 532--554]所述，那么至少有一对特征值之间存在严格不等式。这些结果应用于Kozumi和Kobayashi [J. Stat. Comput. Simul. 81 (2011) 1565--1578]引入的贝叶斯分位数回归的新DA算法。