数据增强、边缘增强与 PX-DA 算法的理论比较

数据增强 (DA) 算法是一种广泛使用的马尔可夫链蒙特卡洛 (MCMC) 算法，其基于形式为 $p(x|x')=\int_{\mathsf{Y}}f_{X|Y}(x|y)f_{Y|X}(y|x') dy$ 的马尔可夫转移密度，其中 $f_{X|Y}$ 和 $f_{Y|X}$ 为条件密度。Liu 和 Wu [J. Amer. Statist. Assoc. 94 (1999) 1264--1274] 以及 Meng 和 van Dyk [Biometrika 86 (1999) 301--320] 提出的 PX-DA 和边缘增强算法是 DA 的替代方案，它们通常收敛速度快得多，且计算需求仅略高。这些替代算法的转移密度可写为 $p_R(x|x')=\int_{\mathsf{Y}}\int _{\mathsf{Y}}f_{X|Y}(x|y')R(y,dy')f_{Y|X}(y|x') dy$ 的形式，其中 $R$ 是 $\mathsf{Y}$ 上的马尔可夫转移函数。我们证明，当 $R$ 满足某些条件时，由 $p_R$ 驱动的 MCMC 算法在中心极限定理的表现和算子范数意义上，至少与由 $p$ 驱动的算法一样好。这些结果被用于对 DA、PX-DA 和边缘增强算法进行理论比较。我们的重点是利用 Liu 和 Wu 所开发的群结构可用的情形。我们表明，基于 Haar 测度的 PX-DA 算法至少与使用该群上任何proper prior 构造的 PX-DA 算法一样好。