带 Sasaki 型度量的向量丛的收敛性

如果一列黎曼流形 $X_i$ 在基点 Gromov-Hausdorff 意义下收敛于极限空间 $X_\infty$，且 $E_i$ 是 $X_i$ 上赋予了 Sasaki 型度量的向量丛，其秩具有一致上界，则 $E_i$ 的子列在基点 Gromov-Hausdorff 意义下收敛于度量空间 $E_\infty$。投影映射 $\pi_i$ 收敛于极限 submetry $\pi_\infty$，纤维收敛于其纤维；后者可能不再是向量空间，但同胚于 $\R^k/G$，其中 $G$ 是 $O(k)$ 的闭子群——称为弱化群（wane group）——它依赖于基点，并且是利用向量丛上的和乐群定义的。范数 $\mu_i=\|\cdot\|_i$ 收敛于与 $\R^k/G$ 中重新标度相容的映射 $\mu_{\infty}$，且 $E_i$ 上的 $\R$-作用收敛于 $E_{\infty}$ 上与极限范数相容的 $\R-$作用。在向量丛列具有和乐半径一致下界的特殊情形下（例如一列坍缩的平坦环面收敛于圆），极限纤维是向量空间。在相反的极端情形下，例如当单个紧致 $n$ 维流形被重新标度至一点时，极限纤维为 $\R^n/H$，其中 $H$ 是所考虑紧致流形的和乐群的闭包。通过考虑在投影下长度不变的曲线，给出了极限空间中平行性的适当概念。此类曲线的集合在 $\R$-作用下不变，且每条此类曲线保持范数。还证明了在任意初始条件下沿可求长曲线的平移的存在性。一般而言唯一性并不成立，但给出了以前述弱化群 $G$ 表述的必要条件。