字符串中周期集数量的收敛性

考虑长度为$n$的单词。一个长度为$n$的单词的所有周期的集合是$\{0,1,2,\ldots,n-1\}$的一个子集。然而，$\{0,1,2,\ldots,n-1\}$的任意子集未必是一个有效的周期集。在1981年的一篇开创性论文中，Guibas和Odlyzko提出将单词的周期集编码为一个长为$n$的二进制串，称为自相关（autocorrelation），其中位置$i$上的1表示周期$i$。他们考虑了识别有效周期集的问题，并研究了长度为$n$的有效周期集的数量，记为$\kappa_n$。他们猜想$\ln(\kappa_n)$渐近收敛于常数乘以$\ln^2(n)$。尽管2001年提出了$\ln(\kappa_n)/\ln^2(n)$的改进下界，但紧上界问题自Guibas和Odlyzko的论文以来一直悬而未决。本文给出了该比值的一个上界，从而意味着其收敛性并终结了这一长期猜想。此外，我们将结果推广，找到了相关（correlations）数量类似的界：相关是自相关的推广，编码两个字符串之间的重叠。