数值常微分方程解算器的收敛性与李雅普诺夫稳定性理论

对于常微分方程 (ODE) $\dot{x}(t) = f(t,x)$, $x(0) = x_0$, $t\geq 0$, $x\in R^d$,假设 $f$ 关于 $t$ 至少连续、关于 $x$ 局部 Lipschitz,并且在必要时关于 $t$ 和 $x$ 若干次连续可微。我们将一个条件函数 $E(t)$ 与每个解 $x(t)$ 相关联,它以如下方式刻画数值逼近中全局误差的累积:若 $\tilde{x}(t;h)$ 是由步长 $h$、阶 $r$ 的单步法得到的逼近,则对 $0\leq t\leq T$、任意 $\epsilon > 0$、充分小的 $h$ 以及常数 $K>0$,有 $\norm{\tilde{x}(t;h) - x(t)} < K(E(t)+\epsilon)h^r$。利用微分方程稳定性理论中的技巧,本文给出使 $E(t)$ 对 $t\geq 0$ 被线性上界或常数上界控制时 $x(t)$ 所需满足的条件。更具体地,当 $x(t)$ 是落入稳定双曲不动点、或稳定双曲环、或具有拟周期流的正则双曲收缩流形的动力系统轨线时,这些技巧给出 $E(t)$ 的常数或线性界。