受控 K 理论与 K 同调

受我们获取时空的能力受测量设备分辨率限制这一想法的启发，我们给出具有有限分辨率的 K 同调的新描述。G. Yu 引入了称为局部化代数 $C^*_L(X)$ 的 $C^*$-代数，其由从 $[1,\infty)$ 到 Roe 代数 $C^*(X)$ 且传播收敛到 $0$ 的函数组成，并证明对任意赋予球面度量的有限维单纯复形 $X$，该局部化代数的 $K$-理论同构于 $X$ 的 $K$-同调。我们利用受控 $K$-理论（亦称定量 $K$-理论）给出该定理的粗粒化版本。即，我们不考察传播收敛到 $0$ 的算子族，而是证明对每个维数 $n$，存在阈值 $r_n>0$，使得 $n$ 维有限单纯复形 $X$ 的 $K$-同调同构于传播小于 $r_n$ 的算子的某等价类群。这一图景也使我们能用有限矩阵表示有限单纯复形 $X$ 的 $K$-同调群 $K_*(X)$ 中的任意元素。