点集空间中的控制

我们研究黎曼流形 $M$ 的「点集（ensembles of points）」的受控动力学。参数化点集是连续映射 $\gamma:\Theta \to M$ 的像，其中 $\Theta$ 是紧参数集。点集的动力学由微分同胚半群 $P_t:M \to M, \ t \in \mathbb{R}$ 的作用 $\gamma(\theta) \mapsto P_t(\gamma(\theta))$ 定义，该半群由 $M$ 上的受控方程 $\dot{x}=f(x,u(t))$ 生成。因此，$M$ 上的任一控制系统都定义了一个在点集空间 $\mathcal{E}_\Theta(M)$（一般为无限维）上的控制系统。我们希望建立此类控制系统的能控性判据。正如我们之前的工作（[1]）一样，我们试图将几何控制理论的李代数方法推广到无限维情形。我们研究有限点集的情形，并证明精确能控性性质对它们的普遍性。我们还找到了连续点集的充分近似能控性判据，并证明了关于 $M$ 上流空间中运动规划的一个结果。我们讨论了所得能控性判据与有限维及无限维流形各种版本 Rashevsky-Chow 定理的关系。