扭曲双代数与着色 Fock 函子上的收缩与抽取

我们引入扭曲双代数（即线性物种范畴中的双代数）上的抽取-收缩余积概念。若 $P$ 为扭曲双代数，则抽取-收缩余积将任意有限集 $X$ 及其上任意等价关系 $\sim$ 对应的 $P[X]$ 映到 $P[X/\sim]\otimes P[X]$，并带有余结合律约束及与 $P$ 的乘积和余积的相容性。我们证明，若 $P$ 是带抽取-收缩余积的扭曲双代数，则 $P\circ Com$ 是余代数物种范畴中的双代数，即余代数范畴中的物种。随后我们引入玻色 Fock 函子的着色版本。这诱导出一个双函子，将任意双代数 $(V,\cdot,\delta_V)$ 与任意带抽取-收缩余积的扭曲双代数 $P$ 关联到余模-双代数 $F_V[P]$：该对象继承乘积 $m$ 与两个余积 $\Delta$ 和 $\delta$，使得 $(F_V[P],m,\Delta)$ 是右 $(F_V[P],m,\delta)$-余模范畴中的双代数。作为一个例子，这被应用于图的扭曲双代数。着色 Fock 函子随后允许将图的双双代数构造推广到顶点由任意双代数 $V$ 中元素装饰的图的双双代数。其他例子（关于混合图、超图、非交叉划分……）将在一系列后续论文中给出。