拓扑代数的连续包络与光滑包络

自首批光学仪器发明以来，物理学中普遍接受这样一个观点：被观测物体的可见图像取决于观测工具。在数学中形式化这一思想的方法是构造一种映射，它将范畴 $K$ 中的任意对象 $A$ 映射为其在给定态射类（表示类）$\varOmega$ 中关于给定态射类（观测工具类）$\varPhi$ 的包络 $\text{Env}_\varPhi^\varOmega A$。结果表明，若选取足够广泛的拓扑代数范畴作为 $K$，则每一对类 $\varOmega$ 和 $\varPhi$ 的选择都定义了“泛函分析到几何的投影”，而标准的“几何学科”，如复几何、微分几何和拓扑学，均成为此构造的特例。这提供了一套具有许多有趣应用的“几何的范畴构造”形式化方案，特别是“庞特里亚金对偶性的几何推广”（至非交换群类）。本文在拓扑学和微分几何中描述了这一方案。